Dans les mathématiques, il existe un vaste réseau de conjectures, de théorèmes et d’idées en constante expansion appelé le programme de Langlands. Ce programme relie des sous-domaines apparemment déconnectés. C’est une telle force que certains mathématiciens disent qu’elle – ou un aspect de celle-ci – appartient aux rangs estimés des problèmes du prix du millénaire, une liste des principales questions ouvertes en mathématiques. Edward Frenkel, mathématicien à l’Université de Californie à Berkeley, a même surnommé le programme de Langlands “une grande théorie unifiée des mathématiques”.
Le programme porte le nom de Robert Langlands, mathématicien à l’Institute for Advanced Study de Princeton, NJ Il y a quatre ans, il a reçu le prix Abel, l’un des prix les plus prestigieux en mathématiques, pour son programme, décrit comme « visionnaire . »
Langlands est à la retraite, mais ces dernières années, le projet a germé dans “presque son propre domaine mathématique, avec de nombreuses parties disparates”, qui sont unies par “une source d’inspiration commune”, explique Steven Rayan, mathématicien et physicien mathématicien à l’Université. .de la Saskatchewan. Il a “de nombreux avatars, dont certains sont encore ouverts, dont certains ont été résolus de manière magnifique”.
De plus en plus de mathématiciens trouvent des liens entre le programme original – et sa ramification, Langlands géométrique – et d’autres domaines scientifiques. Les chercheurs ont déjà découvert des liens étroits avec la physique, et Rayan et d’autres scientifiques continuent d’en explorer de nouveaux. Il a l’intuition qu’avec le temps, des liens seront trouvés entre ces programmes et d’autres domaines également. “Je pense que nous ne sommes qu’à la pointe de l’iceberg là-bas”, dit-il. “Je pense que certains des travaux les plus fascinants qui sortiront des prochaines décennies sont de voir les conséquences et les manifestations de Langlands dans des parties de la science où l’interaction avec ce type de mathématiques pures a peut-être été marginale jusqu’à présent.” Dans l’ensemble, Langlands reste mystérieux, ajoute Rayan, et pour savoir où cela se dirige, il veut “voir émerger une compréhension de l’origine réelle de ces programmes”.
Une toile déroutante
Le programme Langlands a toujours été une danse alléchante avec l’inattendu, selon James Arthur, mathématicien à l’Université de Toronto. Langlands était le conseiller d’Arthur à l’Université de Yale, où Arthur a obtenu son doctorat. en 1970. (Langlands a refusé d’être interviewé pour cette histoire.)
“J’étais essentiellement son premier élève et j’ai eu beaucoup de chance de l’avoir rencontré à ce moment-là”, déclare Arthur. « Il ne ressemblait à aucun mathématicien que j’aie jamais rencontré. “Toute question que j’avais, en particulier sur le côté plus large des mathématiques, il répondait clairement, souvent d’une manière qui était plus inspirante que tout ce que j’aurais pu imaginer.”
Pendant ce temps, Langlands a jeté les bases de ce qui est finalement devenu son programme homonyme. En 1969, Langlands a écrit à la main une lettre de 17 pages au mathématicien français André Weil. Dans cette lettre, Langlands a partagé de nouvelles idées qui sont devenues plus tard connues sous le nom de “conjectures de Langlands”.
En 1969, Langlands a donné des conférences dans lesquelles il a partagé les sept conjectures qui ont finalement abouti au programme de Langlands, note Arthur. Un jour, Arthur a demandé à son conseiller une copie d’un article préimprimé basé sur ces conférences.
“Il m’en a donné un volontairement, sachant sans doute que cela me dépassait”, dit Arthur. «Mais c’était aussi au-delà de tout le monde pendant de nombreuses années. Je pouvais cependant dire qu’il était basé sur des idées vraiment extraordinaires, même si à peu près tout ce qu’il contenait m’était inconnu. »
Les conjectures au cœur de tout
Deux conjectures sont au cœur du programme de Langlands. « À peu près tout dans le programme de Langlands vient d’une manière ou d’une autre de ceux-là », dit Arthur.
La conjecture de réciprocité se rattache aux travaux d’Alexandre Grothendieck, célèbre pour ses recherches en géométrie algébrique, notamment sa prédiction des « motifs ». « Je pense que Grothendieck a choisi le mot [motive] parce qu’il le voyait comme un analogue mathématique des motifs que vous avez dans l’art, la musique ou la littérature: des idées cachées qui ne sont pas explicitement clarifiées dans l’art, mais des choses qui se cachent derrière qui régissent en quelque sorte la façon dont tout s’emboîte », dit Arthur .
La conjecture de réciprocité suppose que ces motifs proviennent d’un autre type d’objet mathématique analytique découvert par Langlands appelé représentations automorphes, note Arthur. “La “représentation automorphe” n’est qu’un mot à la mode pour les objets qui satisfont les analogues de l’équation de Schrödinger” de la physique quantique, ajoute-t-il. L’équation de Schrödinger prédit la probabilité de trouver une particule dans un certain état.
La deuxième conjecture importante est la conjecture de fonctorialité, aussi simplement appelée fonctorialité. Il s’agit de classer les champs numériques. Imaginez commencer avec une équation d’une variable dont les coefficients sont des nombres entiers – tels que x2 + 2x + 3 = 0 — et en recherchant les racines de cette équation. La conjecture prédit que le champ correspondant sera “le plus petit champ que vous obtenez en prenant des sommes, des produits et des multiples rationnels de ces racines”, explique Arthur.
Explorer différents « mondes » mathématiques
Avec le programme original, Langlands “a découvert un tout nouveau monde”, dit Arthur.
La ramification, Langlands géométrique, a élargi le territoire couvert par ces mathématiques. Rayan explique les différentes perspectives offertes par les programmes originaux et géométriques. “Ordinary Langlands est un ensemble d’idées, de correspondances, de dualités et d’observations sur le monde à un moment donné”, dit-il. “Votre monde va être décrit par une séquence de nombres pertinents. Vous pouvez mesurer la température là où vous vous trouvez ; vous pourriez mesurer la force de la gravité à ce point », ajoute-t-il.
Avec le programme géométrique, cependant, votre environnement devient plus complexe, avec sa propre géométrie. Vous êtes libre de vous déplacer, en collectant des données à chaque point que vous visitez. “Vous n’êtes peut-être pas si préoccupé par les chiffres individuels, mais plutôt par la façon dont ils varient au fur et à mesure que vous vous déplacez dans votre monde”, déclare Rayan. Les données que vous collectez « vont être influencées par la géométrie », dit-il. Par conséquent, le programme géométrique “remplace essentiellement les nombres par des fonctions”.
La théorie des nombres et la théorie des représentations sont reliées par le programme géométrique de Langlands. “Au sens large, la théorie des représentations est l’étude des symétries en mathématiques”, explique Chris Elliott, mathématicien à l’Université du Massachusetts à Amherst.
En utilisant des outils et des idées géométriques, la théorie de la représentation géométrique élargit la compréhension des mathématiciens des notions abstraites liées à la symétrie, note Elliot. C’est dans ce domaine de la théorie des représentations que le programme géométrique de Langlands “vit”, dit-il.
Intersections avec la physique
Le programme géométrique a déjà été lié à la physique, préfigurant de possibles connexions avec d’autres domaines scientifiques.
En 2018, Kazuki Ikeda, chercheur postdoctoral dans le groupe de Rayan, a publié un Journal de physique mathématique étude qui, selon lui, est liée à une dualité électromagnétique qui est “un concept connu de longue date en physique” et qui se retrouve dans les codes correcteurs d’erreurs des ordinateurs quantiques, par exemple. Ikeda dit que ses résultats “ont été les premiers au monde à suggérer que le programme de Langlands est un concept extrêmement important et puissant qui peut être appliqué non seulement aux mathématiques mais aussi à la physique de la matière condensée” – l’étude des substances à l’état solide – “Et le calcul quantique.”
Les liens entre la physique de la matière condensée et le programme géométrique se sont récemment renforcés, selon Rayan. “L’année dernière, le décor a été planté avec divers types d’investigations”, dit-il, y compris son propre travail impliquant l’utilisation de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres dans le contexte de la matière quantique.
D’autres travaux ont établi des liens entre le programme géométrique et la physique des hautes énergies. En 2007, Anton Kapustin, physicien théoricien au California Institute of Technology, et Edward Witten, physicien mathématicien et théoricien à l’Institute for Advanced Study, ont publié ce que Rayan appelle “un bel article historique” qui “a ouvert la voie à une vie active”. pour Langlands géométrique en physique théorique des hautes énergies. » Dans l’article, Kapustin et Witten ont écrit qu’ils visaient à “montrer comment ce programme peut être compris comme un chapitre de la théorie quantique des champs”.
Elliott note que l’examen de la théorie quantique des champs d’un point de vue mathématique peut aider à glaner de nouvelles informations sur les structures qui en sont fondamentales. Par exemple, Langlands peut aider les physiciens à concevoir des théories pour des mondes avec un nombre de dimensions différent du nôtre.
Outre le programme géométrique, le programme original de Langlands est également considéré comme fondamental pour la physique, dit Arthur. Mais l’exploration de cette connexion “peut nécessiter d’abord de trouver une théorie globale qui relie les programmes originaux et géométriques”, dit-il.
La portée de ces programmes peut ne pas s’arrêter aux mathématiques et à la physique. “Je crois, sans aucun doute, que [they] ont des interprétations à travers la science », dit Rayan. “La partie de l’histoire sur la matière condensée conduira naturellement à des incursions dans la chimie.” De plus, ajoute-t-il, « les mathématiques pures font toujours leur chemin dans tous les autres domaines de la science. C’est juste une question de temps. “